«Para qué sirven las matemáticas» es la eterna pregunta de generaciones de estudiantes. Recuerdo haberme preguntado, hace ya muchos años, «¿para qué sirven los conjuntos (diagramas de Venn)?»
Dibujábamos dos circulitos que se cortaban y hablábamos de uniones, intersecciones, conjuntos complementarios, etc. Posteriormente vi que, entre otras cosas, eran conceptos a tener en cuenta para el cálculo de probabilidades.
Hay bastante contenido en Internet con artículos muy generales escritos por apasionados de las ciencias que intentan predicar que las matemáticas sirven porque sirven. Ni un solo ejemplo o son demasiado complejos.
También es verdad que se puede encontrar información interesante, buscándola con paciencia.
Voy a poner algunos ejemplos sencillos de uso cotidiano de las matemáticas, para ir en el futuro ampliando la información.
Trigonometría y geometría
Analicemos el siguiente problema, basado en un hecho real y muy cotidiano en las instalaciones eléctricas (de hecho, me lo indicó mi hermano Alfonso, que es electricista):
En una instalación eléctrica hay que hacer el giro de una esquina con una bandeja para cables. La bandeja tiene una anchura determinada, d. ¿Cómo habrá que cortarla para poder hacer un giro de 90º y ajustar la bandeja a la esquina?
Vemos en el dibujo (arriba, a la izquierda), que en el punto A queremos hacer el giro. Puesto que el giro es de 90º deberemos cortar desde el punto A y su perpendicular a 45º para que, al juntarse las dos partes sumen 90 y finalicen el giro .
Es decir, la ínea AB se va a juntar con la AD (figura de abajo).
El punto C es fácil hallarlo, con una simple perpendicular a A. Pero cuánto vale la distancia que hay que cortar, d’, la distancia BD?.
Arriba a la derecha podemos observar que los triángulos ACB y ACD son rectángulos, el ángulo C es de 90º en ambos.
Por trigonometría sabemos que tangente(A) = tangente (45) = CD (cateto opuesto) / CA (cateto contiguo) = 1 (cualquier calculadora indica que la tangente de 45 es 1).
Por lo tanto CD = CA = d. Análogamente, CB = CA = d.
En efecto, habrá que cortar d a cada lado. Si la bandeja es de 300 mm, la distancia entre B y D deberá ser de 600 mm.
Otro ejemplo: una aplicación del teorema de Pitágoras
Imagínate que estás en el medio del campo, tienes que marcar en el suelo una esquina en un ángulo de 90º y tan solo tienes una cuerda, un rotulador y unas estacas para picarlas en el suelo. ¿Cómo lo haces?.
En los siguientes dibujos vemos el procedimiento.
En primer lugar (figura 1), doblamos la cuerda en 3 y hacemos las marcas a y b; seguidamente doblamos por la mitad (raya vertical) y marcamos los puntos c, d y e. La cuerda ha quedado dividida en 6 partes.
En segundo lugar, colocamos la cuerda como se ve en la figura 2, doblamos por la línea vertical y marcamos los puntos f, g, h, i, j, k. Ya tenemos 11 marcas en la cuerda, que la dividen en 12 partes (figura 3).
Fijamos los dos extremos (punto negro) con una estaca en el suelo (figura 4). Buscamos la marca a y la marca i, y tensamos. La marca a será el punto del triángulo con ángulo de 90º, es decir, el triángulo es rectángulo, de medidas 3, 4 y 5, que verifica: 32+42=52 (teorema de Pitágoras).
Hemos dividido la cuerda en 12 partes porque 3 + 4 + 5 =12.
Un poco de «autocad manual»
Imaginemos que deseamos amueblar nuestro cuarto de estar o salón. Podemos acceder a Internet y encontrar todo tipo de muebles, con sus medidas. ¿Cómo comprobar fácilmente si los muebles que nos interesan caben en la distribución que hemos pensado?.
Una opción es a ojo, más o menos, pero resulta muy poco recomendable.
En lugar de ello, podemos hacer uso de un poco de geometría para hacer un plano, aunque no tengamos autocad.
Preparar una regla (de 30 cm es suficiente) y un cartabón o escuadra (para hacer perpendiculares) y una hoja de papel. Si esta es de papel cuadriculado, resultará más fácil, nos bastará con la regla.
Tomar medidas de nuestro salón. Largo, ancho, y posibles columnas, muebles preexistentes o figuras. Anotaremos las mediciones en centímetros y las pasaremos al plano dividiendo entre 100.
Por ejemplo, si nuestro comedor mide 5 metros por 3,5 metros, es como decir 500 cm x 350 cm.
Dibujamos en la hoja un rectángulo de 5 cm x 3,5 cm. Las medidas de 50 cm, serán de 5 mm en el plano. Si nos parece pequeño, multiplicamos por 2 y buscamos una hoja más grande. Solo habríamos cambiado la escala.
En el primer caso habremos hecho un plano a escala 1:100. Lo que midamos en el plano, multiplicado por 100, será la medida real. En el segundo caso (cuando, después de dividir por 100, multiplicamos por 2), la nueva escala será de 1:50.
Si queremos hacer esto en un ordenador, hay programas gratuitos de autocad que permiten hacerlo con facilidad. Nos lo anotamos para una futura entrada.
Para qué sirven las derivadas
Escuché un día preguntar a un estudiante de una carrera universitaria técnica (ahora llamadas grados): «¿para qué sirven las derivadas?»
Cuando esto sucede no queda más remedio que pensar que algo está fallando en nuestro sistema educativo.
La derivada representa lo que cambia una magnitud con respecto a otra. Cuando, dentro de un coche, vemos que la distancia recorrida cambia con el tiempo, es señal de que nos estamos moviendo, es decir, tenemos velocidad. Se dice que la velocidad es la derivada del espacio con relación al tiempo dS/dt.
No niego que el concepto es bastante técnico, pero a veces resulta muy útil. Veamos una aplicación de las derivadas.
Planteando un ejemplo sencillo
Imaginemos el siguiente problema: tenemos que construir un depósito de 1500 m3 para un producto, El depósito tendrá forma de prisma con base cuadrada.
El contratista nos da un precio para las paredes laterales (5 €/m2) y otro para la base (15 €/m2), este último más caro por distintos problemas que no vienen al caso.
La cuestión es: ¿qué medidas debo indicar al contratista para que me cueste lo menos posible?.
Este problema apareció en una prueba de acceso a la universidad del año 2015. Hay que saber derivar, por supuesto, pero ¿no es evidente su utilidad práctica?. Es un ejemplo que todo el mundo entiende y su resolución no es especialmente compleja, aunque requiere conocimientos más técnicos .
A modo de conclusión
Es imposible en una breve entrada mostrar la trascendencia de lo que se estudia en matemáticas.
El contenido teórico y la gran cantidad de materia que tienen que estudiar nuestros jóvenes hace que les resulte muy complicado ver toda su utilidad.
No se entiende un país o el mismo ser humano sin cultura. Por otra parte, el desarrollo cultural va ligado al tecnológico, por lo que ambos conocimientos resultan imprescindibles.
Resulta increíble, observando nuestro atraso con relación a países de nuestro entorno, oir hablar de retirar las matemáticas de los cursos de bachillerato.
Esperemos que la idea no se lleve a cabo, nosotros seguiremos buscando ejemplos de la utilidad de las mates en la vida cotidiana.
(fotografía de portada: damirbelavic, pixabay)